Statistické modely

Role statistických modelů v analýze dat

Statistické modely poskytují formální rámec pro kvantifikaci vztahů mezi proměnnými, odhad nejistoty a testování hypotéz. Od jednoduchých lineárních vztahů až po hierarchické a bayesovské struktury umožňují vytvářet replikovatelné, interpretovatelné a auditovatelné závěry. Klíčem je shoda mezi modelem a procesem generování dat (DGP), nikoli samotná predikční přesnost bez kontextu.

Datové typy, škály měření a předzpracování

• Škály: nominální, ordinální, intervalová, poměrová. Volba modelu a ztrátové funkce musí respektovat měřítko.
• Kódování kategorií: one-hot, účinkové (deviation), Helmert, target kódování pro vysokou kardinalitu.
• Transformace: standardizace, robustní škálování (medián/IQR), Box–Cox/Yeo–Johnson pro aproximaci normality reziduí.
• Detekce anomálií: izolace extrémů (IQR, z-skóre), robustní metody (M-odhady) před fitováním modelu.

Předpoklady modelů a diagnostika

• Lineární regrese: linearita, homoskedasticita, normalita chyb, nezávislost pozorování.
• GLM: správná spojovací funkce, členění rozptylu podle rodiny rozdělení (exponenciální rodina).
• Časové řady: stacionarita, absence autokorelace v reziduích po modelu, sezónnost.
• Diagnostika: Q–Q grafy, Breusch–Pagan/White, Durbin–Watson, ACF/PACF, Cookova vzdálenost, influence plots.

Lineární regrese a regularizace

Model: y = Xβ + ε, kde ε ~ N(0, σ²I). Odhad OLS minimalizuje ||y − Xβ||². Při multikolinearitě a vysoké rozměrnosti použijeme regularizaci:

• Ridge (L2): penalizace λ||β||², stabilizuje odhady, neredukuje koeficienty přesně na nulu.
• Lasso (L1): penalizace λ||β||₁, provádí výběr proměnných (sparsitní řešení).
• Elastic Net: kombinace L1 a L2; vhodné při skupinové korelaci prediktorů.
• Volba λ: k-násobná křížová validace, event. informační kritéria (AICc/BIC).

Generalizované lineární modely (GLM)

GLM rozšiřují lineární model na různé rozdělení odezvy pomocí link funkce g(·): g(μ) = Xβ.

Smíšené (hierarchické) modely

Pro data se strukturou (opakovaná měření, shluky) použijeme náhodné efekty: y = Xβ + Zb + ε, b ~ N(0, D). Smíšené modely umožňují odlišit variabilitu mezi jednotkami (např. školami, pacienty) od variability uvnitř jednotek a zlepšují inferenci i predikce. Rozšíření: GLMM pro ne-gaussovské odezvy.

Modely časových řad

• ARIMA/SARIMA: kombinace autoregrese (AR), integrovaní (I) a klouzavého průměru (MA) se sezónností. Postup: diferenciace → identifikace (ACF/PACF) → odhad → diagnostika.
• Stavový prostor a Kalmanův filtr: obecný rámec pro dynamické systémy, latentní stavy a měřicí šum; snadná práce s nepravidelným vzorkováním a chybějícími hodnotami.
• GARCH: modelování heteroskedasticity (finanční časové řady).

Bayesovské modelování

Bayesovský přístup kombinuje předchozí znalost p(θ) s věrohodností p(y|θ) do posterioru p(θ|y). Výhody: přirozená kvantifikace nejistoty, hierarchie, práce s malými vzorky.

• Výpočet: MCMC (NUTS/HMC), variational inference (VI) pro rychlejší aproximace.
• Předchozí rozdělení: slabě informativní (např. Student-t pro robustnost), nebo informativní z dřívějších studií.
• Model checking: posterior predictive checks, LOO-CV/WAIC pro porovnání modelů.

Neparametrické a pružné modely

• Spliny a aditivní modely (GAM): y = α + Σ f_j(x_j) + ε s penalizací hladkosti; zachycují nelinearity při zachování interpretace.
• Jádrové metody: odhady hustoty (KDE), lokálně vážená regrese (LOESS).
• Gaussovské procesy (GP): f(·) ~ GP(m, k); plně bayesovská nelineární regrese s kvantifikací nejistoty, náročná na výpočet (inducing points pro škálování).

Redukce rozměrnosti a reprezentace

• PCA: ortogonální projekce maximalizující rozptyl; vhodná pro odšumění a vizualizaci.
• FA/ICA: faktorová a nezávislá komponentní analýza pro latentní zdroje.
• t-SNE/UMAP: nelineární vizualizace struktur; pouze explorativní, nikoli pro inferenci.

Analýza přežívání (survival)

• Křivky Kaplan–Meier: nestranný odhad přežívání se cenzorovanými daty.
• Coxův proporční hazard: semiparametrický model; test proporcionality (Schoenfeldovy rezidua), time-varying kovariáty při porušení předpokladu.
• Akcelerované životní modely (AFT): param. alternativa s přímou interpretací násobků času do události.

Kauzální inference

• DAG a do-kalkulus: explicitní model příčin/následků, kontrola konfounerů.
• Odhad efektu: propensity score (matching, weighting), stratifikace, double robust metody (AIPW).
• RCT vs. observační studie: zdroje zkreslení (selection, measurement, time-varying confounding); senzitivní analýza.

Výběr modelu, metriky a validace

• Křížová validace: k-fold, stratifikovaná, blocked pro časové řady, leave-one-group-out pro shluky.
• Informační kritéria: AIC/AICc (predikční zdatnost), BIC (parsimoničnost), WAIC/LOO pro bayesovské modely.
• Metriky: RMSE/MAE (regrese), AUC/PR-AUC, log-loss, Brier, kalibrace (reliability diagrams), expected calibration error.

Resampling, bootstrap a permutační testy

• Bootstrap: intervaly spolehlivosti bez silných předpokladů; percentile, BCa.
• Permutace: bezparametrické testování nulové hypotézy výměnitelnosti; odolné vůči odchylkám od normality.

Chybějící data: mechanismy a imputace

• Mechanismy: MCAR, MAR, MNAR. Správná strategie závisí na mechanismu chybění.
• MICE: vícenásobná imputace s kombinací Rubinových pravidel; respektování typů proměnných.
• Analýza senzitivity: posouzení vlivu různých předpokladů o chybění na závěry.

Robustní modelování a outliery

• M-odhady (Huber, Tukey): snižují vliv extrémů na odhady.
• RANSAC: odolné fitování při vysokém podílu outlierů, zejména v regresi.
• Student-t chyby: bayesovská robustifikace pomocí těžkoocasých rozdělení.

Interpretovatelnost a vysvětlitelnost

• Koeficienty a kontrasty: pro lineární/GLM; pozor na kolinearitu a kódování kategorií.
• Částečné závislosti (PDP), ICE křivky: globální/individuální efekt prediktorů.
• Shapley hodnoty (SHAP): aditivní dekompozice příspěvků; používat s ohledem na korelace a stabilitu.
• Kalibrace: Platt/Isotonic pro klasifikaci; důležitá v rozhodovacích systémech.

Kvantifikace nejistoty a intervaly

• Intervaly spolehlivosti vs. věrohodnostní intervaly: frekventistické vs. bayesovské pojetí.
• Predikční intervaly: zahrnují nejistotu parametru i reziduální rozptyl; nezaměňovat s intervaly pro střední hodnotu.
• Modelová nejistota: model averaging (frequentist/BMA) a penalizace složitosti.

Reprodukovatelnost, verzování a etika

• Reprodukční pipeline: notebooky + scripts + lockfiles, data version control, semenné hodnoty RNG.
• Dokumentace: protokoly předem (preregistrace u inferenčních studií), datové slovníky, code review.
• Etika a bias: audit tréninkových dat, fairness metriky (DP/EO/EOD), privacy by design a minimalizace dat.

Nasazení a sledování modelu

• Monitoring: drift dat (PSI), drift predikcí, změna rozdělení reziduí, out-of-spec alarmy.
• Re-trénink: trigger podle SLO, shadow nasazení, champion–challenger testy.
• Správa verzí: registry modelů, podpis artefaktů, auditovatelnost.

Rychlý referenční přehled spojovacích funkcí (GLM)

Checklist pro aplikaci statistického modelu

• Definujte cíl (inference vs. predikce) a rozhodovací metriky.
• Zmapujte datové typy, mechanismus chybějících dat a potenciální zkreslení.
• Zvolte kandidátní modely a jejich předpoklady; připravte diagnostické testy.
• Proveďte resampling/CV, nastavte hyperparametry a validujte kalibraci.
• Kvantifikujte nejistotu (intervaly, posterior), dokumentujte omezení.
• Vybudujte monitorování driftu a plán re-tréninku.

Závěr

Statistické modely tvoří páteř analytického rozhodování: propojují doménové znalosti, pravděpodobnostní uvažování a výpočetní metody. Úspěch spočívá v kritickém přístupu ke vstupním předpokladům, správné volbě metrik, důsledné diagnostice a transparentní komunikaci nejistoty. Kombinací lineárních, generalizovaných, hierarchických a bayesovských přístupů lze vytvářet robustní, interpretovatelné a eticky udržitelné analýzy napříč obory.